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帖子主题:[原创][自学园地] 我对“藏水济新”工程的研究

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[原创][自学园地] 我对“藏水济新”工程的研究

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[原创][自学园地]        我对“藏水济新”工程的研究

(二)

数学准备

一.有关距离的概念 先规定一下有关距离的称呼的含义的区别,以便以后准确理解有关名词之所指。我们平时量两地之间的距离,是按照交通路径的曲曲弯弯的总长度来计算的。而我们下面所提到的距离,则是两点之间的理论距离。为了区别清楚,前者称之为“交通距离”,后者称之为“直连距离”。直连距离又分为两点间的直线距离和圆弧线距离。因为地球是圆球形的,所以直连距离中的圆弧线距离才是真正的距离,而直连距离中的直线距离则是数学意义上的直线线段长度。

首先约定一个问题:每两点之间的实际距离(圆弧线长度)可以用它们之间的直线距离近似代替。我们知道,我们所站立的下面是一个地球,并不是一个平面。所以每两点之间的地面实际上是突起的圆球面。所以两点距离是一段圆弧。所谓两点间连线只能是存在于地面下的抽象概念。如果以两点间直线代表它们之间的实际的圆弧距离,就存在着误差了。不过,在两点较近时,这种误差是相对比较小的,以致可以忽略不计。也就是可以用两点间直线距离近似代替圆弧线距离。这样可以大大简化我们的计算过程。那么,距离小到什么程度,就可以将误差忽略不计,直接用直线距离代替圆弧线距离呢?下面我们就来推导出其条件:

在 图一 中,设O为地球中心,A、B 为地面上的两点。A、B 间的圆弧距离,就是圆弧线A、B的长度,圆弧长度 A⌒B = R(θ/57.2958)(θ的单位为度) 直线长度 A—B = 2Rsin(θ/2)使 A—B = A⌒B ,即 2Rsin(θ/2) = R(θ/57.2958)即:sin(θ/2) = (θ/2)/57.2958 ……(1)

我们知道,当角度x接近0时,sinx 和 x 都是趋向于0的,这使得sinx 和 x 的值也越来越接近。于是我们有:当x≤5°时,sinx≈x(弪) 。也就是说,将x的单位用弧度来表示时,该角度的正弦值近似等于其本身。现在验证一下:sinx=0.087155742 ,而x=0.087281512(弪)。两者很接近。如何是x=4°或更小,则sinx与x更接近。不仅是事实这样,而且从理论上也是可以证明的(可通过“无穷小”的概念推导出来,此处不赘述)于是,根据此一结论,可知式(1)中,当θ/2≤5°时,或小于其对应的弧度值时,sin(θ/2)约等于(θ/2)的弧度值,即(θ/2)/57.2958,也就是式(1)成立。而θ/2≤5°,也就是θ≤10°。于是此时: A⌒B = R(θ/57.2958)= 6378×10/57.2958 = 1113.17 km结论:当两点间距离不大于1113.17公里时,它们之间的实际距离可以用直线距离近似代替。

二. 地球上的经纬度概念:

参见图三。比如一只西瓜,假定用一根细长的针,从一头的花蒂这里穿进,从另一头的瓜藤处穿出,那么这根针就相当于其中心轴,可以让它在轴上旋转。这就相当于地球,绕着自转轴旋转。地面上的点绕自转轴各自旋转出一个个圆圈,中间最大的一圈圆就相当于赤道,赤道所在平面就是赤道平面。西瓜也好,地球也好,都是近似的球体。现在假定在球的表面上有两个点A、B。此两个点就决定了一根直线。我们可以想象这根直线是另一根细长的针。这根长针,只有两头露出西瓜之外,而A、B两点之内的部分,则埋隐于瓜内,是看不见的。我们平时所讲的A、B两点的距离,其实并不是隐埋于下面的直线线段AB的长度,而是它上面的圆弧AB的长度。也就是,由球心O、A、B三点所决定的平面,和球体相交后,在球面上形成一个圆形交贯线,此圆在A、B两点之间的那段圆弧,其长度,才是我们所指的两点距离。A、B两点间是这样,A、C两点间也是这样的。

现在,用一把刀,过A、C这根直线或者说贴着这根针在西瓜上切一刀。就得到一个圆的切口或切痕。若刀始终不离开这根线,而且绕着这根线转动角度,那么就可以在西瓜上,切出许多圆的切口来。无论怎么切,切口只可能是圆,而不可能是其他形状如椭圆等。这是因为,如果是椭圆,那么由于球心到椭圆的各点的距离是不相等的,但是此椭圆又是在球面上,于是,球心到这些点的距离便不完全相同,这与球的定义是矛盾的,所以不可能是椭圆,只可能是圆。另外,切出的每个圆,他们的圆心与球心的连线,必然与该圆平面相垂直。

另外,A、C两点及其连线,将这许多的圆,都分割成了左右两部分。这两部分可能相等,也可能不相等,也就是优弧和劣弧两部分。其中,左右相等的那个圆,圆心必在AC线段的中点上,也就是说,此时AC成为圆的直径 。将所有的劣弧都集中到同一侧,来比较一下他们的长度:可以发现,左右相等的那个圆的劣弧在所有劣弧中是最长的。实际上此时的劣弧与优弧是相等的,其他随着刀口逐渐转过去,逐渐变短,到最后与AB线重合。其实也不是真正的空间重合,只是从其上方看下去,其投影与A、B重合罢了。那么,这么多的劣弧,当然就是最短的那个,谁最短呢?虽然是空间曲线,但我们在实际观察中可以判断,也就是与AB线段上下重合的那个圆弧,才是真正的A、B间距离了。这不仅从日常直觉中可以肯定,而且也可以通过理论推导证明出来。在此不予赘述。应该注意的是,所有切出来的圆,不仅圆心在由球心引出的垂线上,而且圆上的各段圆弧,包括优弧、劣弧,都是开口朝向自己的圆心的。只有当最后那个圆,也就是与球体的大圆相重合的那个圆,其AB圆弧,不仅朝向自己的圆心,也是朝向球心的,因为此时已经重合为一了。

现在,在图二或图四中,用一把刀,在西瓜上顺着中心轴的方向切下去,但不要切透,切到中心轴为止,这样就切出一扇半月形的切口(就像农历初七、八时的上弦月)。以此切口为起始,然后,以球体的中心轴为中心使刀口往右转一个角度,再切一刀。两刀之间便切出一个楔形。此楔形有左右两个半月形平面和弯曲的纺锤型曲面。也就像一块西瓜,两边是半月形的红色瓜瓤部分,外侧是绿色的纺锤型的西瓜皮部分。我们注意到,这块西瓜皮像一把斧子,其刃口是一条直线,其实就是和球体的中心旋转轴是同一根直线。两侧的半月形平面,交成了一个二面角。刃口线就是这二面角的角顶线。在角顶线上任意一点出发,在两侧平面上作角顶线的垂线,则此两根垂线之间的夹角的大小,就是二面角的角度值。在角顶线上任一点,都可以得到这样的夹角,而且都相等,所以,“二面角处处相等”。拿一块西瓜,在刃口线的任一点处,垂直于刃口线切下去,得到的是上面是“⌒”形、下面是“V”的切口,而且,所有的V形的夹角都相等,这就是“二面角处处相等”的实证。如果,不是垂直于刃口线且,而是斜着切,但是刀口是偏向于西瓜块的同一头,那么,得到的V形的夹角就一定小于前面的二面角的大小。随着斜度越来越大,V形角也越来越小,直到切刀方向与刃口线完全重合,此时V形角的两根边线合二为一,夹角等于零。如果,将西瓜块的绿色瓜皮朝下放,刀口是斜着刃口线,也就是刀口前后分别朝向西瓜快的两头切下去,得到的V形角就会大于二面角。随着倾斜度加大,此V形角也越来越大,最终的最大值是180°。现在,我们把上述西瓜的半月形切口放到地球上来研究。西瓜块的外侧绿色的是纺锤形的西瓜皮部分,瓜皮由左右两条曲线围成,这两条曲线其实是球体上的两条半圆线。左边的那条半圆线,我们称之为“起始经度”,也就是经度等于零。而右边的半圆线,称之为“东经”线(往左是“西经”线)。起始线与东经线之间的二面角的角度,就是东经度数。

下面,我们对西瓜进行另一项研究:西瓜绕着中心旋转轴旋转,中间最大的一圈,在地球上就是赤道。赤道本身是一个平面的圆。赤道把整个球体分为上下两个半球,同时也把刚才的西瓜块分为上下两部分。在地球上来说,也就是北、南两个半球。现在,我们用刀垂直于中心轴的方向在瓜上切出一个切口,由前知,这切口必定是一个圆,而且这圆垂直于中心轴,由前知,该圆的圆心必定在此中心轴上。另外,此圆必定与赤道平面相平行。现在,我们在此圆上任意一点与球心相连,得到的连线与它在赤道平面上的投影线之间就有一个夹角。所有这些夹角必然相等。同时,所有这些连线围成了一个圆锥形曲面。每一根连线就是圆锥形的母线或素线。圆锥形与赤道平面之间便形成了一个路径为圆形的二面角,前述夹角的大小就是此二面角的角度。同理,此二面角的大小处处相等。这一圈圆形切口,在地球上就是“纬线”,每一根纬线与球心之间所形成的圆锥面,与赤道平面间都有一个二面角。此二面角的度数,就是该纬线的“纬度”。容易理解,在北面的叫“北纬”,在南的叫“南纬”。总结:在地球上任何一点,均可作出半月形的经度扇和纬度圆及纬度锥。经度扇就是前面所说的,该点与地球中心旋转轴所在平面在球面上截出的半圆,该半个圆周线即为当地(和沿半圆周上任何一点)的经线,该半圆面就是经度扇,与起始面之间的二面角大小就等于其经度。同时,过该点又可以作一个垂直于中心旋转轴(也就是平行于赤道平面)的平面,在球面上截出一个圆来,而该圆与球心之间又形成了一个圆锥形,这就是该点(和沿圆上任何一点)的纬度圆、纬度锥。经度扇与纬度圆相互垂直,纬度圆与起始经度扇、该点经度扇的交线之间形成的水平角的大小就等于该点经度扇的经度值,该水平角对应的圆弧开口向着中心轴而不是向着球心(所以该段圆弧的长度不等于起始点到该点的实际距离),顶点在中心轴上。而经度扇与纬度锥、赤道平面的交线之间形成的垂直方向的角的大小就是该点纬度圆的纬度值。该垂直角对应的圆弧开口向着球心(所以该段圆弧的长度等于该点到赤道平面的实际距离),顶点在球心上。

至此,我们对“经度”、“纬度”已经有了清晰的了解。下面,我们就要根据地球上的两点,在已经知道他们各自的经纬度的情况下,研究如何推求出他们之间的距离来。

如图二,已知地球上两点1和2,以及他们各自的经纬度,如何计算他们之间的距离呢?方法一:直角坐标法。先选出点“1”来,推导出经纬度转化为直角坐标的普遍公式,再研究两点间距离计算方法。在图中,点1的东经度数等于0°经线与1点所在经线间的二面角大小,也就是∠0o5的大小。为了推导过程简析起见,将起始点由0°经线移到x轴所处的NxS经线处来。这样,点1的东经度数就是∠xo5的大小了。由图知,x=o1'·cos(xo5)=o1·cos(1o5)·cos(xo5)由图知,o1就是地球的半径R,∠1o5就是点1的北纬度数,而∠xo5就是它的东经度数。设点1的东经为E1(°),北纬为N1(°),于是任意点1的x坐标值为:x1=o1·cos(1o5)·cos(xo5)==Rcos(N1)·cos(E1)于是任一点的x坐标值的通式为:x==Rcos(N)cos(E)同样,我们可以推导出任意点的y、z坐标分别为:y==Rcos(N)sin(E)z==Rsin(N)

然后,我们具体计算点1、点2之间距离。距离公式是:距离s == √[(Δx)^2 + (Δy)^2 + (Δz)^2 ]其中,Δx代表两个x值之差,也就是Δx=x1-x2 。余同。说明:这样计算出来的距离是两点间的直线线段距离,而不是真正的直连圆弧距离距离。但只要不大于前面所述的1113.17公里时,就可以代替真正的直连圆弧距离了。

例:上海与南京的经纬度分别为:上海:E1=121.4737021,N1=31.2303904南京:E2=118.796877,N2=32.060255试求上海到南京的距离(直连距离)。解:将已知的经纬度分别代入上述坐标值计算通式中,可以分别计得x1、y1、z1,和x2、y2、z2。再计算Δx=x1-x2, Δy=y1-y2, Δz=z1-z2,再代入距离s的计算公式,便可得到两点间直线距离为 269.93732219≈270 km,由于它大大小于1113.17,所以,认为上海到南京的直连圆弧距离就是 270 km。

如果靠手算的话,那是要花费大量时间的。但我们是要在海拔高度地图上查找和计算成百上千个点的之间的经纬度和距离的。为此,可以将上述公式输入计算机,让计算机帮忙计算,我们只需输入各个点的经纬度即可。这种程序,可以用多种实用语言如C语言等等编制程序。下面介绍的是用关系数据库foxPro的语言编制的一段程序:

E1=0.0000000N1=0.0000000

E2=0.0000000N2=0.0000000

π=3.1415926535R=6378

do while .t.

@10,10 say"请输入地点1的东经值E1(度): "get E1@11,10 say"请输入地点1的北纬值N1(度): "get N1

@13,10 say"请输入地点2的东经值E2(度): "get E2@14,10 say"请输入地点2的北纬值N2(度): "get N2

read

E1弪 =E1/57.29577591N1弪 =N1/57.29577591E2弪 =E2/57.29577591N2弪 =N2/57.29577591

x1=R*cos(N1弪)*cos(E1弪)y1=R*cos(N1弪)*sin(E1弪)z1=R*sin(N1弪)

x2=R*cos(N2弪)*cos(E2弪)y2=R*cos(N2弪)*sin(E2弪)z2=R*sin(N2弪)

Δx=x1-x2Δy=y1-y2Δz=z1-z2

Δx平方=Δx*ΔxΔy平方=Δy*ΔyΔz平方=Δz*Δz

L=sqrt(Δx平方+Δy平方+Δz平方)

@18,10 say"地点1 和 地点2 之间的(圆弧)距离 == "get L@18,63 say'Km'

enddo

执行此程序时,一个循环下来,第1点和第2点的经纬度值仍然在屏上保留着,此时只要将其中一点的经纬值改写为第3个点的经纬值,那么就又能计算出余下的一点与第3点之间的距离。这样大大加快了查找和计算的速度。

方法二:见图 。先找出与点2同经度,而与点1同纬度的点3来。每两个点用直线相连。这样就得到一个平面三角形。分别算出边23和边31的长度,以及角231的余弦值,再利用三角公式中的余弦公式求出1、2两点间距离的平方。最后开方后得到1、2两点间距离。用这种方法求得结果是 269.9373310954 km,与前面所得结果相差只有不到9毫米。说明两种方法计得结果完全相同。

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      2021/5/16 16:37:59

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