[原创]NP完全问题的解法

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导读:根据S集(特征和)中符号的规律可以形成一种有效的算法,用来寻找或者判别出大的质数。本文得出的结论就是:NP完全问题可以得到解决,NP = P!

NP完全问题的解法

李联林


摘 要:根据S集(特征和)中符号的规律可以形成一种有效的算法,用来寻找或者判别出大的质数。本文得出的结论就是:NP完全问题可以得到解决,NP = P!

关键词:初等数论 质数 三角和 特征和 NP完全问题


1.引言

作者在“关于质数的充分必要条件的猜测”的论文中,给出了一组新型的质数充分必要条件,首次提出了可以通过全取排列的方式计算出质(奇) 数的S集(特征和),使得可以把数字的结构分解成由若干位符号所组成的S集(特征和)。在S集这种新的数字结构体系下,任何一个质数都已不再是不可拆分的基本单元,而可以用一组有规律可寻的正负符号来描述,这将导致一种崭新的数学研究方法诞生。既可以用传统公认的方法来验证这种体系的正确性,又可以从中得到一系列有新意的学术成果。“关于质数的充分必要条件的猜测”一文中给出的猜测一和猜测二,就是建立起这种创新的数学研究方法的基础。

作者又在“S集(特征和)的符号规律”的论文中,创立了适用于非质数奇数的虚拟S集(虚拟特征和),进一步得到了任意一个质(奇)数的S集(特征和)中,任意一位的符号Sj都是有规律可寻的结论。通过一系列的符号法则以及猜测四、五,把看似杂乱无章的S值(特征值)符号全部都有规律地联系在一起。无需采用全取排列的方法,仅仅需要较小的计算量就能够求出任意一个质(奇)数的未知S集,从而可以快捷地判断出任意一个奇数,S集中的S值是否带有N的标记。这样就给质数的识别带来极大的方便,并给七大数学难题之一,NP完全问题(NP Completeness)的解决带来新的思路。

NP完全问题之所以能够排在七大数学难题之首,不但是因为它有着极大的理论价值并且非常难解,而且一旦被破解以后,在众多的工程领域里还可以得到广泛的应用。经过斯蒂芬.库克(Stephen A. Cook)等许多数学家的努力,目前已经发现大约有四千多个问题可以列为NP完全问题,例如:汉弥尔顿回路问题(Hamiltonian cycle problem)、旅行推销员问题(Traveling salesman problem)、布尔可满足性问题(Boolean satisfiability problem)(SAT)等等。但是,所有这些问题相互之间都有一个共同的特点,即可以归约(Reduction)。只要针对其中某个特定的NP完全问题找到了一种算法,所有的这类问题都可以迎刃而解,因为他们都可以转化为同一个问题。

历史悠久的质数判别问题就是NP完全问题中的核心问题。在历史上,这个问题曾经吸引了包括费马(Fermat)、欧拉(Euler)、勒让德(Legendre)和高斯(Gauss)在内的大批数学家,花费了大量的时间和精力去研究这个问题。几百年来,对于这个问题持之以恒地研究,极大地推动了数学理论的发展。NP完全问题是由P(Polynomial)问题和NP(Non-Deterministic Polynomial)问题两部分组成。P问题的核心,就是究竟有没有可以用来推算出质数,同时计算量又比较小的多项式公式。严格地讲,计算这种多项式公式或是函数的计算量,必须满足对于算法的复杂性(Complexity)上的要求。公认的有实用价值的算法,计算量应该为O(P^c),其中c可以是任意一个常数,但是越小越好。如果无法得到这种多项式公式,那就导致了NP问题,即非多项式算法问题。NP问题的核心就是究竟有没有一种算法,同样可以在多项式时间以内,用来判别出任意一个奇数是不是质数,给出我们所需要的答案。这就是著名的数学难题,NP = P? 目前绝大部分的学者倾向于认为NP ≠ P,一个关键的原因就是经过数十年来的研究,没有人能够发现一个NP完全问题的多项式时间算法。而且,在NP完全的概念出现之前,人们早就已经开始寻求这种算法了。再进一步地讲,如果得出了NP = P这样的结论,还会导致很多惊人的结果,而这些结果现在被大多数学者相信是不成立的,但又无人能够证明出来它们并不成立。

比如,众所周知的公钥密码的理论基石,就是建立在NP完全问题难解性的基础上发展起来的。如果针对NP完全问题能够找到一种有效的解法,那么目前正在广泛使用的绝大多数RSA公开密钥码体制,将面临着崩溃的危险,因为RSA体制与质数的判别有着密切的联系。

无论如何,只要能够给出一个NP = P的相关算法,或者是证明出来NP ≠ P,NP完全问题都能够算是获得解决。本文在上述两篇论文的基础上,在S集这种崭新的数字结构体系下,根据破解出来的S值符号之间的规律,另辟蹊径形成了一种崭新的有效算法,可以用来寻找或者判别大质数,使得NP完全问题获得解决。


2.正向定位的S值符号纵向循环周期

我们已经知道,在包括所有奇数的S集列表中,S集中符号规律的核心内容,简单地说就是“纵向循环、横向相乘”。因此,研究S集中S值符号纵向的循环规律,就占有着重要的地位。本章所要讨论的是,在已经获知的奇(质)数O的S集列表中,其中任意一位上 S值符号纵向的循环周期长度究竟是多少,如何通过尽可能小的符号循环周期,根据正向定位法则一,可以推算出新奇数O+2的S集中同一位上的S值符号。关于S值符号纵向的循环周期问题,已在“S集(特征和)的符号规律”一文的第2章中有所讨论,但还不够系统和完整。它与寻找和判别质数的最优算法有着密切的联系,所以有必要全面地把这种S值符号的纵向循环规律进一步总结、归纳、提高。

2.1 正向定位S值符号的纵向循环周期长度

我们已经知道,在奇(质)数O的S集{S1 … Sj … So-1}当中,一共有O-1位S值。当Sj的位数j是质数,j ≡ 3(mod 4),或者当j = 2、3、7、11…时,在该位上S值符号一个完整的循环周期中有2 * j个数,是个偶数,同一位数上相隔一个循环周期的S值相互之间必然是同号,相隔半个循环周期的S值必然是反号。因此,我们可以利用半个循环周期之间相互对应的S值符号相反的特点,最小仅用半个循环周期的长度j个数,即可推断出新的奇(质)数S集中同一位数上的S值符号Sj。

当位数j也是质数,但是j ≡ 1(mod 4),即位数j = 5、13、17…时,在这些位数上,一个完整的S值符号纵向循环周期的长度是j个数。不同奇数的S集,在同一位数上相隔一个循环周期的S值,相互之间必然是同号,不过在这些位数上不存在半个循环周期的概念。

当位数j为合数时,假设j = 2 * 3 * 4 * … * k(其中k可以是某个因子的多次方),根据正向定位法则二,可有Sj = S2 * S3 * S4 * … * Sk。在该位数上S值符号Sj循环周期的情况就稍微复杂些,其中既有相同因子的平方关系,也有不同因子之间的相乘关系。在该位上,S值符号Sj在S集列表中纵向排列的循环周期,是它的位数互质的S2 、S3 、…、Sk各自循环周期长度的最小公倍数。因为这些S值的位数k,既有k ≡ 1(mod 4),循环周期为k个数的情况;也可以有k ≡ 3(mod 4),循环周期为2 * k个数,但是循环周期的前后半个周期相互对应位上符号相反的情况。所以,在任意一个合数位j上S值循环周期的长度,既可以有j个数(甚至更小);最大的循环周期长度也可以有 2 * j个数,但前后半个循环周期相互对应位上的符号相反。

综上所述,S集中任意一位数j上 S值符号的纵向循环规律,可供利用的的最小周期长度不超过j个数,由此可得出的结论就是:对于任意一个位数j上的S值,只要相隔j个数,就一定能推断出在相同位数上的下一个S值符号。

这个结论可以在S集列表一、二中得到充分地验证。例如位数6的S值循环周期,是它的因子2和3各自循环周期4、6的最小公倍数12,循环的S值符号为:-1,N,-1,+1,N,+1;+1,N,+1,-1,N,-1,一共有2 * j = 12个数,但是前后半个周期相互对应位上的符号相反,所以可供利用的的最小周期长度为6个数。位数10的循环周期,是它的因子2和5各自循环周期4、5的最小公倍数20,循环的S值符号为:-1,-1,N,+1,-1,+1,-1,N,+1,+1;+1,+1,N,-1,+1,-1,+1,N,-1,-1,一共有2 * j = 20个数,前后半个周期相互对应位上的符号相反,所以可供利用的的最小周期长度为10个数。位数15的循环周期,是它的因子3和5各自循环周期6、5的最小公倍数30,循环的S值有2 * j = 30个数,前后半个周期符号相反,所以可供利用的的最小周期长度为15个数。


S值符号纵向循环周期长度

S值位数j 完整循环周期长度 是否有前后半个周期符号相反 循环的S值

2 4 (2*j) 是 -1,+1;+1,-1

3 6 (2*j) 是 -1,N,+1;+1,N,-1

4 1 否 +1

5 5 (j) 否 +1,-1,N,-1,+1

6 12 (2*j) 是 -1,N,-1,+1,N,+1;+1,N,+1,-1,N,-1

7 14 (2*j) 是 -1,-1,+1,N,-1,+1,+1;+1,+1,-1,N,+1,-1,-1

8 4 是 +1,-1;-1,+1

9 3 否 +1,N,+1

10 20 (2*j) 是 -1,-1,N,+1,-1,+1,-1,N,+1,+1;

+1,+1,N,-1,+1,-1,+1,N,-1,-1

11 22 (2*j) 是 -1,+1,-1,-1,-1,N,+1,+1,+1,-1,+1;

+1,-1,+1,+1,+1,N,-1,-1,-1,+1,-1

12 6 是 +1,N,-1;-1,N,+1

13 13 (j) 否 +1,+1,-1,-1,+1,-1,N,-1,+1,-1,-1,+1,+1


不过,若要利用S值符号纵向循环规律的最小周期长度,来推算出下一个S值的正负符号,还需要根据是否有j ≡ 1、3(mod 4),来分别判别出在每一个位数j 上,S值完整的循环周期长度究竟应该是j个数还是2 * j个数,然后才能够确定出在它的循环周期中,是否存在着前后半个周期符号相反的情况,仍然太麻烦,会增加很大的计算量。在下一节中,将寻找出更好的方法来解决这个难题。

2.2 S集中寻找或者判别质数的关键是标记N

在S集列表中可以发现,即使是在某个位数j上,S值符号的最大循环周期为2 * j个数,而且在前后半个循环周期中,相互对应位上的符号相反,但是标记N却始终是没有正负之分的S值。所以,在任意一个位数j上,对于标记N而言,它的循环周期的最大长度只有j个数。

我们已经知道,根据S集的符号规律,来寻找或者是判别任意一个奇数O是不是质数时,关键之处是看这个奇数的S集中,S值是否带有N的标记。至于在其余的位数上,S值究竟是+1还是-1并不关键,而且这些正负符号,只是在验证计算结果是否正确时才有用。但是,对于一个有着上千万位长度的质数,要把它S集中天文数字般的S值,都代入到猜测一给出的三角和公式中去进行验证,既无必要也不可行。所以,可以在已经获知的S集的符号规律中,把所有不带有N标记的S值,也就是+1或-1都认为是1,只要保持标记 N在非质数奇数的虚拟S集中,位数及其循环规律不变即可。这样做的简化规定不会带来任何影响,反而是在推断计算时更加简单,更加贴近寻找和判别质数这个问题的实质。建立起可以适用于非质数奇数的虚拟S集以后,改变了应用传统的三角和、特征和理论研究质数时的惯用思维方式,它不是刻意地去研究质数的特征值是什么,而是着重研究在什么样的情况下奇数就不会是个质数。所以说,获取任意一个奇数S集中S值符号的规律,以及能够判别出质数的关键之处,是获取虚拟S集中标记N的位数规律

随着对于S集中客观存在的符号规律认识上的加深,从最初的只包括质数的S集列表,逐渐演变成了含有非质数奇数虚拟S集的S集列表一,含有拓展S集的S集列表二,直到S值不再分为正负的S集列表三。S集列表经历了由简到繁,再由繁到简的不断演变,内涵也得到了一次次的升华。再进一步,还可以考虑把S集列表三中的拓展S集简化掉,甚至把合数位上的S值也进行简化,这样就可以进一步减少算法的计算量,但因为对结论无重大的影响,所以本文暂不对此展开讨论。从寻找或者判别质数的角度上讲,S集中符号的规律,实际上已经逐渐脱离了数论中原有的三角和、特征和的概念,演变成了一种新型的,只讨论虚拟S集中标记N位数的规律。这样一来,对于正向定位法则一、二的证明,将逐渐变得清晰可行。

S集列表的获取将变得更为简单:所有质数S集中的S值都等于1;所有非质数奇数的虚拟S集中,仅有与奇数因子有关的位数上的S值等于N,其余的S值也都等于1。某一位数j上的S值Sj等于1的含义有两点:该S值的位数j一定与奇数O互质(参见猜测五),如果某个奇数S集中所有的S值都等于1,不带有N的标记,同样可以说明这个奇数是个质数;在应用正向定位法则二时位数j可参与运算,用于推算出其它位数上的S值,尤其是其它带有N标记的S值的位数。

在这种对于S值的特殊选定情况下,对于“任意一个位数j上的S值,只要相隔j个数,就一定能推断出在相同位数上的下一个S值符号”的结论,可以修改为更加简明扼要:对于任意一个位数j上的S值,只要相隔j个数,就一定能推断出在相同位数上的下一个N标记。这就是根据S值,尤其是质数位上标记N的S值循环规律,能够判别出新质数的关键之一。

例如S集中位数6上的S值,S6的循环周期,可以被认为不超过6个数(实际上还可以更小,但这已经足够了),循环的S值符号为:1,N,1,1,N,1。位数10上的S值循环周期,不超过10个数(实际上只有5个数),循环的S值为1,1,N,1,1,1,1,N,1,1。位数15的S值循环周期,不会超过15个数。而且在任意一个位数j上,都不再有前后半个周期相互对应位上的符号相反的概念,所以无需对下一个S值的符号正负做出判断,这样计算量就可以被大大降低。


S集列表三

P = 3, S ={1,1}

P = 5, S ={1,1,1,1}

P = 7, S ={1,1,1,1,1,1 }

O = 9, S ={1,1,N,1,1,N,1,1}

P = 11,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

P = 13,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

O = 15,S ={1,1,N,1,N,N,1,1,N,N,1,N,1,1}

P = 17,S ={1,1,1,1,1,1,1,1[size][/size],1,1,1,1,1,1,1,1}

P = 19,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

O = 21,S ={1,1,N,1,1,N,N,1,N,1,1,N,1,N,N,1,1,N,1,1}

P = 23,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

O = 25,S ={1,1,1,1,N,1,1,1,1,N,1,1,1,1,N,1,1,1,1,N,1,1,1,1}

O = 27,S ={1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1}

P = 29,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

P = 31,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

O = 33,S ={1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,N,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,N,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1}

O = 35,S ={1,1,1,1,N,1,N,1,1,N,1,1,1,N,N,1,1,1,1,N,N,1,1,1,N,1,1,N,1,N,1,1,1,1}

P = 37,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

O = 39,S ={1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,N,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,N,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1}

P = 41,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

P = 43,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

O = 45,S ={1,1,N,1,N,N,1,1,N,N,1,N,1,1,N,1,1,N,1,N,N,1,1,N,N,1,N,1,1,N,1,1,N,1,N,N,1,1,N,N,1, N,1,1}

P = 47,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

O = 49 S ={1,1,1,1,1,1,N,1,1,1,1,1,1,N,1,1,1,1,1,1,N,1,1,1,1,1,1,N,1,1,1,1,1,1,N,1,1,1,1,1,1,N,1,1,1,1,1,1}

O = 51,S ={1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,N,N,1,1,N,1,1, N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,N,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1}

P = 53,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

O = 55,S ={1,1,1,1,N,1,1,1,1,N,N,1,1,1,N,1,1,1,1,N,1,N,1,1,N,1,1,1,1,N,1,1,N,1,N,1,1,1,1,N,1,1,1,N,N,1,1,1,1,N,1,1,1,1}

O = 57,S ={1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,N,1,N,1,1, N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,N,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1,N,1,1}

P = 59,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

P = 61,S ={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1}

(S集由原S集和拓展S集两部分组成,列表中黑体字为原S集,红体字为拓展S集。)

2.3 任意一个奇数S集中能够被推算出来S值符号完整循环周期的最大位数j

在第3章中将要讨论,如何根据正向定位法则一获得的S值符号的纵向循环规律,尤其是标记N的纵向循环规律,用作辨别质数时的一种算法。所以,确定出能够从已经获知的奇数O及其以下所有质(奇)数的S集中(例如S集列表三),可以获得原S集中完整S值符号循环规律的最大位数j,以便用于求出新的奇数O+2原S集中相同位数上的S值,就非常重要。它与新的奇数O+2的关系,分三种不同的情况可用三个公式来表达:

当j为奇数时,O + 2 = 3*j +2;

当j为偶数时,0 + 2 = 3*j + 1,或0 + 2 = 3*j + 3 = 3*(j+1)。


奇数O+2能够从奇数O的S集中,被推算出来S值符号完整循环周期的位数列表:

奇数O+2 用于推算循环周期的起始S值 可获知完整循环周期S值的最大位数j 未知S值的位数 最大未知S值的位数 已知S值对应在拓展S集中的位数

41 = 3*j+2 15的S13 1——13 14——27 2*(j+1)-1 28——40

43 = 3*j+1 15的S14 1——14 15——28 2*(j+1)-2 29——42

45 = 3*(j+1) 17的S14 1——14 15——30 2*(j+1) 31——44

47 = 3*j+2 17的S15 1——15 16——31 2*(j+1)-1 32——46

49 = 3*j+1 17的S16 1——16 17——32 2*(j+1)-2 33——48

51 = 3*(j+1) 19的S16 1——16 17——34 2*(j+1) 35——50

53 = 3*j+2 19的S17 1——17 18——35 2*(j+1)-1 36——52

55 = 3*j+1 19的S18 1——18 19——36 2*(j+1)-2 37——54

57 = 3*(j+1) 21的S18 1——18 19——38 2*(j+1) 39——56

59 = 3*j+2 21的S19 1——19 20——39 2*(j+1)-1 40——58

61 = 3*j+1 21的S20 1——20 21——40 2*(j+1)-2 41——60

63 = 3*(j+1) 23的S20 1——20 21——42 2*(j+1) 43——62


从表中可知,任意一个新的奇(质)数O+2,能够从已经获知的奇(质)数O的S集中,利用S值符号纵向的循环规律,推算出它的S集中接近三分之二位上的S值。

例如,从表中可知奇数45,最多能够从43以下的S集列表中,获得14位完整的符号循环规律。因为位数14的S值循环周期的长度是28个数,但前后半个周期符号相反,所以只要14(j)个数即可。用于推算原S集中,可获知符号循环周期最大位数j的起始S值,是从奇数17的S14开始,经过14(j)个数的循环周期,到43的S14为止。因为对于O、O+2、O+4…等不同的奇数,在S值符号不分正负的S集列表三中,原S集中的S值对应到拓展S集,可分别有SO-j = Sj、SO+2-j = Sj、SO+4-j = Sj …。所以,根据拓展S集的定义,S45-j = Sj,对应到拓展S集中还可以获知另外的14个S值,位数是31到44,所以剩下的未知S值的位数只是从15到30。

从上表中可以发现,因为任意一个奇数O的S集中,S值的个数始终都是偶数O-1,所以未知S值的个数也就只能是个偶数。最小未知S值的位数是j+1,最大未知S值的位数可以有分别等于2*(j+1)-2、2*(j+1)-1和2*(j+1)三种情况,最小未知S值的位数j+1乘以2,要大于或者等于最大的未知S值位数。如果j是个奇数,最大未知S值的位数等于2*(j+1)-1(例如上表中的41、47、53、59);如果j是个偶数,最大未知S值的位数可以分别有等于2*(j+1)-2(例如上表中的43、49、55、61),和2*(j+1)(例如上表中的45、51、57、63)两种情况。当j为偶数,且0 + 2 = 3*j + 3 = 3*(j+1)时,新的奇数O+2必然含有3和j+1的因子,它就一定不是个质数,就会出现最小的未知S值位数j+1乘以2,刚好等于最大的未知S值位数2*(j+1)的情况,此时必有Sj+1 = S2*(j+1) = N。

例如O +2 = 45,当可知的S值循环周期最大位数j为14是个偶数,未知的S值最小位数为15时,根据公式可有0 + 2 = 3*(j+1),43 + 2 = 3*15,45的S集中未知S值的最小位数是15,未知S值的最大位数是30,3和5刚好就是45的因子,所以有S15 = S30 = N。

从上表中可以得知,只要任意一个奇数不含有3的因子,即S3≠N,它未获知的S值最小位数是j+1,最大的未知S值位数就只能是2*(j+1)-2和2*(j+1)-1这两种情况之一,而不可能是2*(j+1)。最小未知S值的位数j+1乘以2,要大于最大的未知S值位数。这个结论对于3.3一节中进行的讨论极为有用。

通过研究S集列表可以发现,S集中奇质数位上第一次出现N的标识的最小奇数,都是0+2 = 3*(j+1)这一类的非质数奇数。刚好都是从已经获知的奇数O及其以下所有质(奇)数的S集中,可获知完整循环周期S值的最大位数j是个偶数,最小未知S值的位数j+1乘以2,等于最大的未知S值位数2*(j+1),因此有Sj+1 = S2*(j+1) = N。例如,非质数奇数9的S集中S3 = N,非质数奇数15的S集中S5 = N,非质数奇数21的S集中S7 = N,它们都是S集列表中,第一次出现新的质数位上有N标识的最小奇数。随着0+2的增大,j+1将覆盖所有的奇数,虽然它不一定是个质数,不过所有大于2的质数都在其中。这就是为什么从有限的奇数O的S集列表中,按照一种特定的算法规律,可以无限制地获得越来越大的非质数奇数0+2,S集列表中越来越多新的质数位上出现N标识的原因。而这种在新的质数位上不断出现N标识的现象或是规律,恰恰就是在3.3一节中所探讨的,能够不断地寻找或者判别出更大质数时的关键之处。

最大可知S值的位数j以及最大未知S值的位数,都是按照奇、偶、偶,有规律、有节奏地变化着,这种奇偶循环周期的长度是3个数。在对于算法进行计算机编程时,可以利用这种位数的奇偶循环变化规律,来减少需要确定出某一个S值位数时的计算量。

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