清代数学研究相当活跃的,超过了以往的任何时代

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导读:明代由于政治社会等种种原因,特别如明末徐光启所指出的那样,一方面“名理之儒,土苴天下之实事”,另一方面“妖妄之术,谬言数有神理”,致使中国传统数学濒于灭绝,以后全为西方欧几里得传统所凌替以至垄断,康乾之世曾有一度重视。 在中国数学发展史上,清代是由古典数学向近代数学的转型时期。这一时期,数学研究是相当活跃的,就数学家人数和有关专著的数量而言,超过了以往的任何时代。明代末年,由于历法改革的需要,陆续引进了欧氏几何学、三角学和笔算等西方数学。入清之后,这项工作仍在继续进行,其中最重要的是由波兰传
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明代由于政治社会等种种原因,特别如明末徐光启所指出的那样,一方面“名理之儒,土苴天下之实事”,另一方面“妖妄之术,谬言数有神理”,致使中国传统数学濒于灭绝,以后全为西方欧几里得传统所凌替以至垄断,康乾之世曾有一度重视。




在中国数学发展史上,清代是由古典数学向近代数学的转型时期。这一时期,数学研究是相当活跃的,就数学家人数和有关专著的数量而言,超过了以往的任何时代。明代末年,由于历法改革的需要,陆续引进了欧氏几何学、三角学和笔算等西方数学。入清之后,这项工作仍在继续进行,其中最重要的是由波兰传教士穆尼阁(J.N.Smogolenski,1611—1656)和薛凤祚所介绍的对数方法。




薛凤祚(1600—1680),与清初著名天文学家和数学家王锡阐有“南王北薛”之称。所著《历学会通》于 1664 年刊行。 《历学会通》主要讲述天文学,此外还有数学、医药学、物理学、水利、火器、兵法等内容。名为“会通”,表明他的目的是想把中法西法融会贯通起来。该书的数学部分主要是传自穆尼阁的《比例对数表》(1653 年),《比例四线新表》和《三角算法》等各一卷。《比例对数表》和《比例四线新表》分别给出了 1~20000 的六位对数表和六位三角函数(正弦、余弦、正切、余切)对数表。书中把今天所说的“对数”称为“比例数”或“假数”,并简单解释了把乘除运算化为加减运算的道理。这是对数方法在中国的首次介绍。对数是 17 世纪最重要的发现之一,它有效地简化了繁重的计算工作。在对数、解析几何和微积分这三种当时西方最重要的数学方法中,也只有对数比较及时地传入了中国。《三角算法》所介绍的平面三角和球面三角知识,比《崇祯历书》中有关三角学的内容更丰富一些。如平面三角中包含有正弦定理、余弦定理、正切定理和半角定理等,且多是运用三角函数的对数进行计算。球面三角中,增加了半角公式、半弧公式、达朗贝尔公式和纳皮尔公式等。




明末清初还传入了西方的一些计算工具,如纳皮尔算筹、伽利略比例规、计算尺(尚无游标、滑尺)、筹式计算器和帕斯卡计算器(机械式加法器)等。这些计算工具有些是外国制造的,有些则是国内自行研制的,现今仍收藏在故宫博物院。在 17 世纪,我国有四算之称,即珠算、笔算、筹算(非指中国古代用算筹进行的筹算)和尺算,后三者都是由西方传入的。




梅文鼎被誉为“历算第一名家”的民间天文、数学家。 康熙二十八年(1689),梅文鼎来到北京,在大学士李光地家中教馆。次年,梅文鼎应李光地之邀,将其研习天文历法的心得以问答形式撰成一书,取名《历学疑问》。康熙四十一年(1702),康熙帝读到李光地进呈的《历学疑问》,对书中的观点非常欣赏。三年后的夏天,康熙帝在南巡的归途召见梅文鼎,连续三日在运河上的御舟中同梅文鼎谈论天文、数学,并亲书“绩学参微”四字,表彰他的研究工作。康熙帝曾通过在宫中任《律历渊源》汇编官的梅文鼎之孙瑴成代为致意。文鼎弟文鼐、文鼏、子以燕、孙瑴成、玕成,以及曾孙多人皆通晓天文、数学。康熙六十年(1721),梅文鼎于宣城家中逝世,康熙帝即命江宁织造曹頫营地监葬。


梅文鼎从事学术活动的年代,正是康熙帝对西方科学产生了浓厚兴趣的时期。这位皇帝在宫廷的躬习西学和梅文鼎在民间对中西历算的会通,汇成了清代初期中国天文和数学研究的一个高潮。在中国科学史上,梅文鼎可以说是一个承前启后的人物:前有明末传统历算的衰颓和西方科学的输入;后有清中叶乾嘉学派对包括历算在内的传统学术的复兴。梅文鼎的天文和数学研究在他那个时代具有强烈的启蒙色彩。


他生前编定的《勿庵历算书目》内收天文著作 62 种、数学著作 26 种。他去世之后,先后由魏荔彤和梅瑴成组织人力刊刻发行了《梅氏历算全书》和《梅氏丛书辑要》两套丛书。以编排较为合理的《梅氏丛书辑要》为例,其子目依次为:《笔算》5卷(附《方田通法》和《古算器考》)、《筹算》2 卷、《度算释例》2 卷、《少广拾遗》1 卷、《方程论》6 卷、《勾股举隅》1 卷、《几何通解》1 卷、《平三角举要》5 卷、《方圆幂积》1 卷、《几何补编》4 卷、《弧三角举要》5 卷、《环中黍尺》5 卷、《堑堵测量》2 卷、《历学骈枝》5 卷、《历学疑问》3 卷、《历学疑问补》3 卷、《交食》4 卷、《七政》2 卷、《五星管见》1 卷、《揆日纪要》1 卷、《恒星纪要》1 卷、《历学答问》1 卷、《杂著》1

卷,另有附录 2 卷系梅瑴成的作品。



梅文鼎对传统数学的研究以《方程论》为最早。传统数学中有关线性方程组的内容正是当时传入的西方数学所不具备的,梅文鼎写作此书的一个动机就是提醒学人不要认为数学是西方的专擅。在这部书中,他还提出了将传统的“九数”划分为“算术”和“量法”这两大类的思想,他说:“夫数学一也,分之则有度有数。度者量法,数者算术,是两者皆由浅入深。是故量法最浅者方田,稍进为少广,为商功,而极于勾股;算术最浅者粟布,稍进为衰分,为均输,为盈朒,而极于方程。方程于算术,犹勾股之于量法,皆最精之事,不易明也。”

当时《几何原本》只有前 6 卷译本,梅文鼎在《测量全义》、《大测》 等书透露的线索的启发下,对后几卷的内容进行了探索,多数成果都被写进他的《几何补编》一书之中。


在当时传入中国的西方科学知识中,三角学是难被人理解和接受的一部分内容。中国古代虽然有勾股术,但一般角的概念却相对地缺匮,而“三角法异于勾股者,以用角也”。梅文鼎作《平三角举要》和《弧三角举要》,可以说是中国人撰写的第一套三角学教科书。


对于中西之争,梅文鼎基本上能够持中平公正之心,这与他对数学本质的看法是有关系的。他在《中西算学通序》中写道:“数学者征之于实,实则不易,不易则庸,庸则中,中则放之四海九洲而准。”



康熙帝关心科学技术,不仅热心学习新的科技知识,而且亲自参加科学研究和实验,这在封建帝王中可说是绝无仅有的。1712 年他命梅瑴成等编撰《律历渊源》100 卷,于 1723 年编成印行。其中数学部分为《数理精蕴》共 53 卷,包括上编“立纲明体”5 卷,下编“分条致用”40 卷,数学用表 4 种 8 卷,这是一部当时中国传统数学和引进的西方数学知识的百科全书,基本上反映了当时国内的数学水平。由于这部书是以康熙名义主持编撰和出版的,所以流传很广,影响也较大,在相当长一段时间内是学习和研究数学必须参考的重要著作。《数理精蕴》是在梅文鼎数学著作、白晋和张诚等进讲的讲稿等基础上编成的,比较全面地叙述了算术、几何、代数、三角等学科的成就。其中较新的内容有对数表的造表方法。关于对数和对数表,《历学会通》已有所介绍,但没有造表方法。



从康熙帝晚年开始,雍正年间,乾隆年间,不少人开始致力于对中国古籍的辑佚、考证、校勘和注疏,以及对传统文化的研究,形成了以整理古典文献为主要目标的乾嘉学派。经过戴震、阮元等著名学者的努力,我国早已失传的许多数学著作,如算经十书,宋元数学家秦九韶、杨辉、朱世杰、李冶的主要著作,都陆续通过由《永乐大典》辑录、据私人藏书家所藏珍本抄录等各种途径被发掘出来,整理出版,其中朱世杰《算学启蒙》的刊刻底本还出自朝鲜刻本。


这些古典数学专著重新出现后,立即引起不少数学家的重视,并纷纷为之注释校勘和进行深入研究,作出了相当突出的成绩。其中李潢(?—1811)《九章算术细草图说》、《海岛算经细草图说》、《辑古算经考注》、《四元玉鉴细草》和《〈数书九章〉大衍求一术考注》,罗士琳《四元玉鉴细草》等,都有不少独到的见解。乾隆嘉庆时期著名学者焦循(1763—1820)著《加减乘除释》,使用甲、乙、丙、丁等文字代表不同的具体数字,分析《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》、 《缉古算经》中各种算法的规律,提出了一些有关加减乘除的基本运算律,如加法交换律和结合律,乘法交换律、结合律及分配律,整指数的二项式定理等,向着理论算术的发展迈出了重要的一步。


乾隆嘉庆时代的学者通过整理和研究古代算书的辛勤劳动,使濒于湮没无闻的数学典籍重放光芒,为后世研究古代数学发展史和了解祖国古代数学的辉煌成就,保存了极为宝贵的文献,这是乾嘉学派的重大功绩。还有一部重要作品,就是阮元主编的《畴人传》46 卷(1799 年)。在封建史家编撰的正史中,极少为科学家或技术专家专门立传。《畴人传》则完全是数学家和天文学家的传记,着重表彰他们卓越的科学成就,这在中国历史上是一件创举。




对方程论中高次方程实根个数判定问题的研究,是乾隆嘉庆时期中国数学家的重要成果之一。宋元时代数学家贾宪、秦九韶等,创造和发展了“增乘开方法”,解决了高次方程正实根的求解问题,但是对于该方程是否还有其他的根,方程根与系数之间的关系,则没有进行过探讨。清代数学家李锐、汪莱、焦循经常通信或在一起讨论数学和天文学问题,当时被誉为“谈天三友”。汪莱(1768—1813),字孝婴,号衡斋,安徽歙县人,著作有《衡斋遗书》9 卷和《衡斋算学》7 册。




明末《崇祯历书》中介绍了三角函数表的编造方法,这种造表法利用普通三角函数关系公式推算,相当繁琐,并且也不能算出任意角的三角函数值。清初康熙年间,法国传教士杜德美(P.Jartoux,1668—1720)曾介绍三个无穷级数公式,梅瑴成将其记载在《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》中。这些公式提供了计算任意角度三角函数值的简捷算法,受到当时数学家的欢迎。对此进行深入研究的是蒙古族数学家和天文学家明安图。明安图,蒙古族正 白旗人,约卒于 1763 年。毕生在钦天监从事天文工作,曾任时宪科五官正,晚年升任钦天监监正。他经过 30 余年的不懈努力,把中国古代数学与引进的西方数学结合起来,创造了割圆连比例法和级数回求法,明安图的数学专著是《割圆密率捷法》4 卷。


明安图之后,董祐诚(1791—1823)在《割圆连比例图解》中又采用不同方法得到了关于弧、弦、矢三者关系的四个公式,简化了明安图的结果。项名达(1789—1850)在《象数一原》中,又把这四个公式简化成两个公式。项名达还和戴煦(1805—1860)共同发现了指数为有理数的二项式定理。李善兰也进行了这方面的研究,但用的是他所发明的“尖锥术”。 徐有壬(1800—1860)的《测圆密率》和《造表简法》。戴煦的《对数简法》和李善兰的《对数探源》,给出了自然对数的幂级数展开式。由此可见,清代数学家已经基本上解决了初等函数的幂级数展开式问题。虽然这些成果在时间上大多晚于西方数学家的同类成果,但这都是中国数学家刻苦钻研独立作出的贡献,并且其中用到的数学方法已经有了微积分思想的萌芽,从而为顺利接受解析几何和微积分学等近代数学知识,实现由传统数学向近代数学的演变,奠定了重要的思想基础。


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